Lý thuyết nhóm

Bài viết này sẽ giới thiệu kiến thức cơ bản về các khái niệm như nhóm, vành, trường, trường hữu hạn.

Nhóm (Group)

Nhóm là một tập hợp G và một phép toán 2 ngôi \(\bullet\), \((G, \bullet)\) phải thỏa các tính chất sau:

• Tính đóng (Closure): Với mọi \(a, b \in G\), ta có \(a \bullet b \in G\)
• Tính kết hợp (Associativity): Với mọi \(a, b, c \in G\), ta có: \((a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c)\)
• Phần tử đơn vị (Identity element): Tồn tại một phần tử đơn vị \(e \in G\) thỏa \(e \bullet a = a \bullet e = a\), với mọi \(a \in G\). Nếu tồn tại, phần tử đơn vị là duy nhất.
• Phần tử nghịch đảo (Inverse element): với mỗi \(a \in G\), tồn tại \(b \in G\) thỏa \(a \bullet b = b \bullet a = e\), với \(e\) là phần tử đơn vị của nhóm. Phần tử nghịch đảo của \(a\) thường được kí hiệu là \(a^{-1}\) hoặc \(-a\), tùy theo phép toán đang sử dụng.

Ví dụ:

• Nhóm: Tập hợp số nguyên \(\mathbb{Z}\) với phép toán cộng. Phần tử đơn vị là 0.
• Không phải nhóm: Tập \(\mathbb{Z}\) với phép toán nhân (không có phần tử nghịch đảo).

Nhóm con (Subgroup)

Cho nhóm G với phép toán \(\bullet\), tập con H của G được gọi là nhóm con nếu H và \(\bullet\) cũng tạo thành một nhóm. Khi H là nhóm con của G, ta kí hiệu \(H \leq G\).

Ví dụ, xét nhóm \((\mathbb{Z}, +)\), khi đó ta có một nhóm con là tập hợp các số chẵn, tuy nhiên tập hợp các số lẻ không phải là nhóm con của \((\mathbb{Z}, +)\), do không thỏa tính đóng (tổng 2 số lẻ là một số chẵn).

Khi H là nhóm con của G, ta có tính chất sau: Phần tử đơn vị của G cũng chính là phần tử đơn vị của H.

Cyclic group và phần tử sinh

Xét nhóm G với phép toán \(\bullet\). Ta kí hiệu phép “lũy thừa” với ý nghĩa như sau:

• \(a^0 = e\), với e là phần tử đơn vị.
• \[a^1 = a\]
• \[a^2 = a \bullet a\]
• \[a^3 = a \bullet a \bullet a\]
• \[a^{-2} = a^{-1} \bullet a^{-1}\]
• …

Khi đó, G là một cyclic group nếu tồn tại \(g \in G\) sao cho, với mỗi \(a \in G\), \(a = g^k\) với một số nguyên k nào đó. G sẽ có dạng:

\[\dots, g^{-3}, g^{-2}, g^{-1}, g^0 (= e), g^1, g^2, g^3, \dots\]

\(g\) sẽ được gọi là phần tử sinh của nhóm.

Ví dụ, \((\mathbb{Z}, +)\) là một cyclic group với phần tử sinh là 1.

Nhóm hữu hạn, bậc (order) của nhóm và bậc của phần tử

Nhóm hữu hạn là một nhóm có số phần tử hữu hạn. Một loại nhóm hữu hạn mà ta thường gặp là nhóm số nguyên đồng dư \(\mathbb{Z_n}\), xem thêm Toán đồng dư.

Xét một nhóm hữu hạn G,

• Bậc của nhóm là số phần tử của nhóm đó, kí hiệu \(\lvert G \vert\).
• Bậc của một phần tử \(a \in G\) là số nguyên dương \(m\) nhỏ nhất sao cho \(a^m = e\), với \(e\) là phần tử đơn vị của nhóm, kí hiệu \(\lvert a \rvert\).

Ký hiệu \(\langle a \rangle\) là nhóm con sinh bởi \(a \in G\), \(\langle a \rangle = \{a^k \vert k \in \mathbb{Z}\}\). Ta có tính chất sau: \(\lvert \langle a \rangle \rvert = \lvert a \rvert\), phát biểu bằng lời: “Bậc của nhóm con sinh bởi a bằng bậc của a”

Định lý Lagrange

Phát biểu định lý Lagrange: “Nếu H là nhóm con của G thì \(\vert H \vert\) là ước của \(\vert G\vert\)”.

Một số hệ quả:

• \(\vert G \vert \vdots \vert a \vert\) với mọi \(a \in G\)

• Định lý Fermat nhỏ: \(a^{p-1} = 1 \pmod p\) với p nguyên tố và \(a \ne 0\). Chứng minh:

  Xét nhóm nhân \(\mathbb{Z}_p^* = \{\bar{1}, \bar{2}, \dots, \overline{p-1}\}\), ta có \(\vert \mathbb{Z}_p^* \vert = p - 1\).

  Mặt khác, \(\vert \mathbb{Z}_p^* \vert \vdots \vert a \vert\) nên \(a^{p-1} = a^{k\vert a \vert} = 1 \pmod p\), (do \(a^{\vert a \vert} = 1 \pmod p\), theo định nghĩa bậc của phần tử)

• Định lý Euler: ta cũng có thể chứng minh định lý Euler tương tự như trên.

Vành (Ring)

Xét tập hợp R với 2 phép toán + và \(\cdot\), R được gọi là một vành nếu ta có các tính chất sau:

• Cộng và nhân có tính đóng
• Cộng và nhân có tính kết hợp: \(\forall a, b, c \in R, (a + b) + c = a + (b + c), (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
• Tồn tại phần tử đơn vị cho phép cộng và nhân, ta kí hiệu 0 và 1 lần lượt là phần tử đơn vị của phép cộng và nhân: \(\forall a \in R, a + 0 = 0 + a = a, a \cdot 1 = 1 \cdot a = a\)
• Phép cộng có tính giao hoán: \(a + b = b + a, \forall a, b \in R\)
• Tồn tại phần tử nghịch đảo cho phép cộng, \(\forall a \in R, \exists b \in R, a + b = 0\)

• Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

  \[a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot b)\] \[(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)\]

Lưu ý là phép nhân không cần có tính giao hoán và không cần phải có phần tử nghịch đảo.

Ví dụ: Tập hợp các ma trận vuông 2x2 trên tập số thực là một vành. Tổng quát hơn, nếu R là một vành thì tập hợp các ma trận nxn với mỗi phần tử ma trận \(\in R\), kí hiệu \(M_n(R)\), cũng là một vành.

Trường (Field)

Xét tập hợp F với 2 phép toán + và \(\cdot\). F được gọi là một trường nếu nó thỏa các tính chất sau:

• Cộng và nhân có tính đóng
• Cộng và nhân có tính giao hoán
• Tồn tại phần tử đơn vị cho cộng và nhân, kí hiệu lần lượt là 0 và 1.
• Tồn tại phần tử nghịch đảo \(-a\) với \(\forall a \in F\), thỏa \(a + (-a) = 0\)
• Với \(\forall a \ne 0\), tồn tại \(a^{-1}\) thỏa \(a \cdot a^{-1} = 1\)
• Tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \(a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot b)\)

Trường hữu hạn là một trường có số phần tử là hữu hạn. Một trường hữu hạn thường gặp là \(\mathbb{Z}_p\) với p nguyên tố.

Bài viết chi tiết về trường và trường hữu hạn sẽ được thêm vào trong tương lai.